GAMES101第二课笔记 - 线代基础知识复习

本系列为闫令琪老师的《GAMES101-现代计算机图形学入门》课程笔记,或者说是一篇 cheatbook 也许更合适。这是系列第一篇,记录了第二课的内容:课程录像课件。第二课还较为简单,基本都是线代基础知识的复习。

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计图基础知识要求

  • 基础数学:线性代数、微积分、统计学
  • 基础物理:光学、力学
  • 其他:信号处理、数值分析、一点点的美学~

向量

  • 向量的两个属性:一、方向二、长度
  • 向量没有绝对起点
  • 长度也称为,记为 \(|\vec a|\)
    • 单位向量 \(\hat a = \frac{\vec a}{|\vec a|}\)
    • 计算方法 \(|(x, y, z)| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
  • 加法:\((x_a, y_a, z_a) + (x_b, y_b, z_b) = (x_a+x_b, y_a+y_b, z_a+z_b)\)
  • 乘法:
    • 点乘:结果是一个数
      • 定义:\(\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta\)
      • 计算:\((x_a, y_a, z_a) \cdot (x_b, y_b, z_b) = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b\)
      • 作用:
        • 判断两向量是否同向
          • 点乘结果大于零 => 同向
          • 点乘结果等于零 => 垂直
          • 点乘结果小于零 => 异向
        • 求某向量在另一向量上的投影
          • 特别地,\(\vec p\) 在单位向量 \(\hat i\) 上的投影为 \((\vec p\cdot\hat i)\,\hat i\)
    • 叉乘:结果是一个向量
      • 与两个原向量构成的平面垂直
      • 使用右手定则或左手定则判断方向,与坐标轴有关
      • 定义:\(|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta\)
      • 计算:\(\vec a\times\vec b = A^*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}\)
      • 作用:
        • 判定两向量的左、右关系
        • 判定某点是否落在图形之内:
          • 若有三角形 \(\triangle ABC\) 与点 \(P\),且以下向量均同向,则点 \(P\) 落在 \(\triangle ABC\) 之内:\(\vec{AB}\times\vec{AP}\)、\(\vec{BC}\times\vec{BP}\)、\(\vec{CA}\times\vec{CP}\)
      • 一些性质:
        • \(\vec a\times\vec b = -\vec b\times\vec a\)
        • \(\vec a\times\vec a = \vec 0\)

矩阵

  • 单位矩阵 \(\boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
  • 矩阵 \(\boldsymbol A\) 的逆矩阵 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 有性质 \(\boldsymbol A\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol A = \boldsymbol I\)
  • 转置的性质 \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^T = \boldsymbol B^T\boldsymbol A^T\)
  • 逆矩阵的性质 \((\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1} = \boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}\)

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  1. Pingback引用通告: GAMES101第五、六课笔记 - 光栅化与反走样 | chenxy.me

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